N°1

Sujet National Juin 1999

 

EXERCICE 1 (5 points) Commun à tous les candidats

Le plan P est rapporté au repère orthonormal direct . On prendra 4 cm comme unité sur les deux axes. On considère l'application F du plan dans lui-même qui, à tout point m, d'affixe z, associe le point M d'affixe



L'objet de cet exercice est de tracer la courbe décrite par M lorsque m décrit le cercle C de centre O et de rayon 1.

Soit t un réel de et m le point de C d'affixe z = e^it.

1. Montrer que l'image M de m par F est le point de coordonnées :

   

   Ces relations constituent une représentation paramétrique de la courbe .

2. Comparer x et x d'une part, y et y d'autre part. En déduire que admet un axe de symétrie que l'on précisera.
3. Montrer que x^' = sin t. Étudier les variations de x sur .
4. Montrer que y^' = . Étudier les variations de y sur .
5. Dans un même tableau faire figurer les variations de x et y sur .
6. Placer les points de correspondant aux valeurs 0, , et du paramètre t et tracer les tangentes en ces points ( on admettra que pour t = 0 la tangente à est horizontale). Tracer la partie de obtenue lorsque t décrit puis tracer complètement.

Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres

1.  
   1. Calculer a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂, a₃, b₃ et c₃.
   2. Combien les écritures décimales des nombres a_n et c_n ont-elles de chiffres ? Montrer que a_n et c_n sont divisibles par 3.
   3. Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 donnée ci-dessous, que b₃ est premier.
   4. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, b_n × c_n = a_2n.
      En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de a₆
   5. Montrer que P GCD = P GCD . En déduire que b_n et c_n sont premiers entre eux.
2. On considère l'équation :

   

   d'inconnues les entiers relatifs x et y.

   1. Justifier le fait que possède au moins une solution.
   2. Appliquer l'algorithme d'Euclide aux nombres c₃ et b₃; en déduire une solution particulière de
   3. Résoudre l'équation .

   Liste des nombres premiers inférieurs à 100 :
   2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.

Dans cet exercice, n est un entier naturel non nul. On considère la suite  définie par :

1.  
   1. Soit la fonction définie sur par

      

      Étudier les variations de sur . En déduire que, pour tout réel t dans ,

      

   2. Montrer que, pour tout réel t dans , on a :

      

   3. Par intégration en déduire que :

      

   4. On rappelle que

      

      Montrer que, si possède une limite L, alors

      

   2.  
   1. Vérifier que pour tout t dans , on a

      

      En déduire l'intégrale

      

   2. Montrer que, pour tout t dans , on a

      

      En déduire que

      

   3. Montrer que est convergente et déterminer sa limite L.

Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal : on prendra 2 cm comme unité sur les deux axes et on placera l'axe des abscisses au milieu de la feuille et l'axe des ordonnées sur le bord gauche de la feuille millimétrée.

Partie A: Étude d'une fonction f et de sa courbe représentative C.

On considère la fonction f, définie sur par :



et on désigne par C sa courbe représentative relativement au repère .

1. Déterminer les limites de f en + et 0.
2. Montrer que f est dérivable sur et calculer f^'.
3. Soit u la fonction définie sur par

   

   1. Étudier les variations de u.
   2. Montrer que l'équation u = 0 possède une solution unique dans l'intervalle . Montrer que
      2, 20 < < 2, 21.
   3. Étudier le signe de u sur .
4.  
   1. Étudier les variations de f.
   2. Exprimer ln comme polynôme en . Montrer que

      

      En déduire un encadrement de f d'amplitude 2 × 10^-2.

5.  
   1. Étudier le signe de f .
   2. Tracer C.

Partie B : Étude d'une primitive de f sur .

Soit F la primitive de f sur qui s'annule pour x = 1. On appelle la courbe représentative de F relativement au repère

1.  
   1. Sans calculer F , étudier les variations de F sur .
   2. Que peut-on dire des tangentes à en ses points d'abscisses 1 et e²?
2. Calcu1 de F .
   1. x étant un réel strictement positif, calculer l'intégrale

      

      ( on pourra faire une intégration par parties).

   2. Montrer que, pour tout x strictement positif :

      

   3. En déduire l'expression de F en fonction de x.
3.  
   1. Montrer que lim _x0 = 0. En déduire la limite de F en 0.
   2. Montrer que, pour x strictement supérieur à 1,

      

      En déduire la limite de F en +

   3. Dresser le tableau de variation de F .
   4. Tracer sur le même graphique que C.
4. Calcul d'une aire.

   Calculer, en cm², l'aire du domaine limité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = e².