N°2

Sujet Amérique du Sud 1999

 

EXERCICE 1 (4 points) Commun à tous les candidats PROBABILITES

I- Lors de la préparation d'un concours, un éléve n'a étudié que 50 des 100 leçons. On a mis 100 papiers contenant chacun une question dans une urne, ces questions portant sur des leçons différentes. Le candidat tire simultanément au hasard 2 papiers.

On donnera les réponses sous forme de fractions irréductibles.

1. Quelle est la probabilité qu'il ne connaisse aucun de ces sujets ?
2. Quelle est la probabilité qu'il connaisse les deux sujets ?
3. Quelle est la probabilité qu'il connaisse un et un seul de ces sujets ?
4. Quelle est la probabilité qu'il connaisse au moins un de ces sujets ?

 

II- On considère maintenant que l'élève a étudié n des 100 leçons. ( n étant un entier inférieur ou égal à 100).

1. Quelle est la probabilité p_n qu'il connaisse au moins un de ces sujets ?
2. Déterminer les entiers n tels que p_n soit supérieur ou égal à 0,95.

Les trois parties I, II, III peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

I - Soit E = .
Déterminer les paires d'entiers distincts de E tels que le reste de la division euclidienne de ab par 11 soit 1.

II-

1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
   1. L'entier ! + 1 est-il pair ?
   2. L'entier ! + 1 est-il divisible par un entier naturel pair ?
2. Prouver que l'entier ! + 1 n'est pas divisible par 15.
3. L'entier ! + 1 est-il divisible par 11 ?

 

III- Soit p entier naturel non premier (p 2).

1. Prouver que p admet un diviseur  q (1 < q < p) qui divise !.
2. L'entier q divise-t-il l'entier : ! + 1 ?
3. L'entier p divise-t-il l'entier : ! + 1 ?

Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal , l'unité graphique étant 4 cm.
On considère les points A₀, A₁ d'affixes respectives :

Le point A₂ est l'image du point A₁ par la rotation r de centre O et d'angle .

1. Calculer l'affixe a₂ du point A₂ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.
2. Soit I le milieu du segment . Calculer l'affixe du point I.
3. Faire une figure.
1. Prouver que les droites et sont confondues.
2. Ecrire sous formé trigonométrique l'affixe de I.
3. Déterminer cos et sin ( les valeurs exactes sont exigées), sachant que

   

 

On considère la fonction numérique f définie sur par :

On désigne par la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal , l'unité graphique étant 2 cm.

I-

1. Soit X = . Prouver l'égalité :

   

   En déduire la limite de f quand x tend vers 1.

2. Déterminer la limite de f en -.
3. En déduire une asymptote à la courbe .
1. Soit v la fonction numérique définie sur par :

   

   calculer v^' .

2. Démontrer que

   

1. Etudier les variations de f.
2. Tracer la courbe .

 

II-

1. Déterminer une primitive de f sur .
2. Soit réel tel que 0 < < 1, déterminer :

   

3. Quelle est la limite de g quand tend vers 1.
4. Quelle est l'aire en cm² du domaine limité par la courbe de f, l'axe des abscisses, les droites d'équations respectives x = - et x = .

 

III-

1. Démontrer que l'équation f = a deux solutions dont l'une est -1. On notera l'autre solution.
2. Donner un encadrement de largeur 10^-2 de .

1. Soit a un élément de . Déterminer graphiquement, en fonction de a, le nombre de solutions de l'équation f = f .