1. Déterminer les couples (x;y) d'entiers naturels tels que x² + xy = 240.

2. Démontrer que pour tout entier naturel n, les nombres suivants sont divisibles par 6 :

        n³ - n  ;  n(2n+1)(7n+1)  ;  n(n+1)(2n+1)

3. Démontrer que 3²ⁿ - 2ⁿ est multiple de 7 (n entier naturel).

4. 

   a) L'entier n étant supérieur à 1, montrer que n(n⁴-1) est un multiple de 5.

   b) En déduire que les nombres n^p et n^p+4, p ³ 1 se terminent par le même chiffre des unités.

5. 

   a) Soit n un entier naturel non nul et d un diviseur positif de n.

       Montrer que pour tout entier a>1, aⁿ-1 est divisible par a^d-1.

   b) En déduire que 2¹⁹⁹⁸ - 1 est divisible par 3, 7, 9 et 511.

6. a et b sont deux entiers relatifs. Démontrez que si a²+b² est divisible par 7, alors a est divisible

    par 7, et b est divisible par 7.

7. Démontrez que si p est impair, la somme de p nombre consécutifs est un multiple de p.