1.   Généralités.

       A. Définition.

Toute fonction de N dans R, définie à partir d’un certain rang, est appelée suite numérique.

                   On peut définir des suites de deux manières :

• Formule explicite : de la forme où est une fonction de R dans R. Ex :

• Formule de récurrence : elle est définie par la donnée d’un procédé de calcul permettant d’exprimer un terme à l’aide du précédent (formule de récurrence) et par une condition initiale qui fixe la valeur du premier terme.

Ex : avecfonction de R dans R.

            et bornées.

• Soit une suite de nombres réels. On dit que :

• La suite est croissante lorsque , pour tout entier n.

• La suite est décroissante lorsque , pour tout entier n.

• La suite est monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante.

                     Pour étudier la monotonie de , on peut utiliser deux techniques :

• La différence  .

• Le quotient si > 0 .

• Une suite est dite majorée, lorsqu’il existe un réel M tel que, pour tout

                    entier n : .

                   Une suite est dite minorée, lorsqu’il existe un réel m tel que, pour

                   tout  entier n : .

                   Une suite à la fois majorée et minorée est dite bornée.

   2.   Suites arithmétiques.

       A. Définition.

avec r raison de la suite arithmétique.

 

Ex : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ….+ =

   3.   Suites géométriques.

       A. Définition.

avec q raison de la suite arithmétique.

   4.   Limites de suites numériques.

• Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme et soit la suite de terme général . Si a une limite finie ou infinie en , la suite a la même limite.

• Pour une suite de terme général (suite géométrique) :

• Si , alors

• Si = 1, alors

• Si q = -1, alors il n’y a pas de limite en .

• Si > 1, alors

• Si < -1, alors il n’y a pas de limites en , mais

• Les théorèmes de somme, produit et différence sont toujours applicables aux limites de suites. Les théorèmes de comparaison sont également vrais pour les suites.

   5.   Raisonnement par récurrence.

    Démontrer une propriété P qui dépend d’un entier naturel n.

• Etablir ou vérifier que P est vraie pour .

• Supposer que pour , P(n) est vraie (HYPOTHESE DE RECURRENCE)

• Démontrer alors que P(n+1) est vraie.

• Ramener l’étude d’une suite quelconque à celle d’une suite géométrique en substituant par une autre variable.

• Retrouver graphiquement les termes d’une suite.

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