DEVOIR MATHÉMATIQUES

N°4

Exercice 1 (3 points)

1) 1 est une solution évidente de ce polynôme, qui est donc factorisable par (x-1).

    d'où :   (x-1) (ax² + bx + c) = 0

    Par identification :  ax³ +(b-a)x² + (c-b)x - c = 0

    donc : (x-1) (3x²-10x-8) = 0  d'où résolution de 3x²-10x-8 = 0 avec D = 196 = 14²

    L'ensemble solution est donc :

2) - Étude du trinôme -x²+5x-9 :  D = -11, donc pour tout x réel, -x²+5x-9 < 0  

    - Étude du polynôme  3x³-13x²+2x+8 : d'après a) : 3x³-13x²+2x+8 = (x-1) (3x+2) (x-4)

       d'où, après le tableau de signe : 

Exercice 2 (3 points)

Les racines de x²+3x+2 sont -1 et -2. P est divisible par x²+3x+2.

donc :  P(-1) = -1 + m + p - 10 = 0

           P(-2) = -8 + 4m - 2p -10 = 0

Après résolution : P(x) = (x-1)(x+2)(x-5)

Exercice 3  (6 points)

1) (D) :  x + y - 1 = 0 

    (D') :  6x  + 4y + 3 = 0 

2) Le cercle circonscrit a pour centre l'intersection de (D) et (D').

    On peut donc trouver les coordonnées du centre H, puis l'équation du cercle de rayon [HA].

    (voir fiche produit scalaire).

    D'où :      (C) : x² + y²  + 7x - 9y = 0

3) En utilisant le théorème d'Al Kashi :  (CA,CB) = 150,26°.

Exercice 4  (4 points)

1) On peut décomposer les vecteurs en ( + ) et en ( + + ).

    On trouve : .

2) En utilisant la définition du produit scalaire, on trouve : 92,12°.

Exercice 5  (4 points)

1) O est isobarycentre du carré ABCD. I est isobarycentre de [AD], et J de [BC].

    On a donc, après calculs, O isobarycentre et donc milieu de [IJ].

2) Utiliser le théorème de la médiane : OM = Ö 2 . L'ensemble des points est le cercle de centre

    O et de rayon Ö 2.

3) Utiliser le théorème de la médiane : l'ensemble des points est la droite (BC).

4) Utiliser le théorème de la médiane.

    a) l'ensemble des points est le cercle de diamètre [IJ] et de centre O.

    b) l'ensemble des points est le cercle de centre O et de rayon Ö 2.

    c) l'ensemble des points est le cercle-point O.

    d) l'ensemble des points est vide.